একটি সংখ্যাকে ১১৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ২১ থাকে। যদি ঐ সংখ্যাটিকে ১৯ দিয়ে ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ কত হবে?

বিস্তারিত সমাধান:

যখন একটি সংখ্যা \(N\) কে একটি ভাজক \(D\) দ্বারা ভাগ করা হয়, এবং ভাগফল \(Q\) ও ভাগশেষ \(R\) হয়, তখন সম্পর্কটিকে এভাবে লেখা যায়: \(N = DQ + R\)।

প্রথম শর্তানুযায়ী, একটি সংখ্যাকে ১১৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ২১ থাকে।

ধরি, সংখ্যাটি \(N\) এবং ভাগফল \(k\)।

তাহলে আমরা লিখতে পারি:

\(N = 114k + 21\)

এখন, ঐ সংখ্যাটিকে ১৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে দেখতে হবে, প্রথম ভাজক ১১৪, দ্বিতীয় ভাজক ১৯ দ্বারা বিভাজ্য কিনা।

১১৪ কে ১৯ দ্বারা ভাগ করলে পাই:

\(114 \div 19 = 6\)

অর্থাৎ, ১১৪, ১৯ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য (\(114 = 19 \times 6\))।

এবার, \(N\) এর সমীকরণে ১১৪ এর মান বসিয়ে পাই:

\(N = (19 \times 6)k + 21\)

\(N = 19 \times (6k) + 21\)

এখন, এই রাশিকে ১৯ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু \(19 \times (6k)\) অংশটি ১৯ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ভাগশেষ শুধুমাত্র ২১ কে ১৯ দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যাবে।

২১ কে ১৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হয় তা বের করি:

\(21 = 19 \times 1 + 2\)

২১ এর এই মানটি \(N\) এর সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(N = 19 \times (6k) + (19 \times 1 + 2)\)

\(N = 19 \times (6k + 1) + 2\)

সুতরাং, যখন সংখ্যাটিকে ১৯ দিয়ে ভাগ করা হবে, তখন ভাগশেষ হবে ২।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি প্রথম ভাজক (এখানে ১১৪) দ্বিতীয় ভাজক (এখানে ১৯) দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হয়, তবে নতুন ভাগশেষ হবে কেবল প্রথম ভাগশেষকে (এখানে ২১) দ্বিতীয় ভাজক দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগশেষ।

১১৪ কে ১৯ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৬ এবং ভাগশেষ ০ হয়। (১১৪ সম্পূর্ণরূপে ১৯ দ্বারা বিভাজ্য)।

সুতরাং, আমরা সরাসরি ২১ কে ১৯ দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ বের করব:

\(21 \div 19\)

\(21 = 19 \times 1 + 2\)

অতএব, ভাগশেষ হবে ২।